Artykuły: : Trygonometria - Wzór Herona - Matematyk.edu.pl

$S = \sqrt {p(p -a)(p - b)(p - c)}$

rys.1

gdzie
$p = \frac{a + b + c}{2}$

rys.2

Pole trójkąta jest równe
$S = \frac{1}{2} c h$
Z twierdzenia Pitagorasa mamy, że
$a^2 = h^2 + x^2 \\ b^2 = h^2 + (c - x)^2$
Teraz otrzymujemy, że
$a^2 - b^2 = h^2 + x^2 - (h^2 + (c - x)^2) = \\ h^2 + x^2 - h^2 - c^2 + 2c \cdot h - x^2 = 2c \cdot h - c^2$
Czyli
$x = \frac{a^2 + c^2 - b^2}{2c}$
Więc
$h^2 = a^2 - x^2 =a^2 - \frac{(a^2 + c^2 - b^2)^2}{4 c^2}$
Wstawiając do wzoru na kwadrat pola mamy, że
$S^2 = \frac{1}{4} c^2 h^2 = \frac{1}{4} c^2 (a^2 - \frac {(a^2 + c^2 - b^2)^2}{4 c^2}) = \frac {1}{4} c^2 a^2 - \frac{1}{16} (a^2 + c^2 - b^2)^2 = \\ \frac{1}{16} (4 c^2 a^2 - a^4 - 2a^2 c^2 - c^4 + 2 c^2 b^2 - b^4 + 2 a^2 b^2) = \\ \frac{1}{16} (a^4 + b^4 + c^4 - 2 c^2 a^2 - 2 c^2 b^2 - 2 a^2 b^2) = \\ \frac {1}{16} (b^4 + (-2 a^2 - 2 c^2) b^2 + (a^4 - 2 a^2 c^2 + c^4)) = \\ \frac{1}{16} (b^4 - 2 (a^2 + c^2) b^2 + (a^2 + c^2)^2 - 4 a^2 c^2) = \\ \frac{1}{16} ((b^2 -(a^2 + c^2))^2 - (2 a c)^2) = \\ \frac{1}{16} ((b^2 - a^2 - c^2 - 2 ac)(b^2 - a^2 - c^2 + 2 ac)) = \\ \frac{1}{16} ((b^2 - (a + c)^2)(b^2 - (a - c)^2)) = \\ \frac{1}{16} (b - (a + c))(b + (a + c))(b - (a - c))(b + (a - c)) = \\ \frac{1}{16} (a + b + c)(a + b - c)(a - b + c)(-a + b + c) = \\ \frac{1}{16} \cdot 2p (2p - 2c)(2p - 2b)(2p - 2a) = p(p - a)(p - b)(p - c)$
Stąd
$\fbox{S = \sqrt {p(p -a)(p - b)(p - c)}}$

Opracował: z7000